データサイエンス設計マニュアル

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8 章

線形代数

数学は主として「定理の証明」であるとよく言われる。作家の仕事は主として「文を書くこと」ではないのか？

— ジャン・カルロ・ロタ

データサ

イエンスプロジェクトのデータの部分は、見つけた情報を 1 つ以上のデータ行列（できる限り大

きなもの）に変換することだ。個々の行列の行は項目や具体例を表すのに対し、列は個々の特徴や属性を

表す。

線形代数は、行列の数学である。数値を並べたものの性質とそれに作用する演算を研究する。そうした理

由から、線形代数はデータサイエンスの共通的な言語となっている。多くの機械学習アルゴリズムは、線形

代数を通じてよく理解できる。実際、線形回帰のような問題を解くアルゴリズムは、1 つの式で表すことが

できる。つまり、適切な行列を順次掛け合わせていくうちに、望ましい結果が得られる。そのようなアルゴ

リズムは、単純で線形代数との相性が良く、実装もしやすいが、効率的で頑健なものとするのは容易では

ない。

読者は今までに線形代数の講義を受けたことがあるだろうが、おそらく学んだことの大半を忘れてしまっ

ているだろう。この章では、知っておくべき大部分の内容を概説する。行列に対する基本演算とそれが役に

立つ理由、演算が行っていることの直観的な理解などである。

8.1 線形代数の威力

なぜ線形代数は強力なのか。線形代数は行列の抽象的な操作であるが、行列で表現できるような例はどこ

にでもある。そのような重要な例を示そう。

• データ：数値データセットの最も一般的に役に立つ形式は、n ×m 行列である。n 個の行が、物（物

体）、項目、事例を表すのに対し、m 個の列はそれぞれ別々の特徴を表す。つまり、座標軸を作る。

• 幾何学的な点の集合：n × m 行列は、空間内の点の集まりを表現できる。 ...