データサイエンス設計マニュアル

8.5 固有値分解 237

図 8 -12 リ

ンカーン記念堂の最大の固有ベクトルだけでも、共分散行列の細部のかなりの部分を捕捉でき

ている

図 8 -13 1 個

、5 個、50 個の最も大きい固有値に対応する固有ベクトルからリンカーン記念堂を再構築し

たときの誤差

などの特徴が復元されており、再構築という点では高く評価できる。

誤差行列は誤差がまだらな領域で発生していることを示している。より細かい細部を描くためには、もっ

と多くのベクトルが必要であることを示しているのだ。図 8 -13 は、それぞれ 1 個、5 個、50 個の最も大き

い固有ベクトルを使ったときの誤差行列を示している。誤差行列は細部を再構築するにつれて小さくなり、

誤差も小さくなる。50 個は、行列を完全に復元するために必要な 512 個の 10 % 未満でしかないが、それで

もかなり優れた近似値が得られることがわかる。

8.5.1 特異値分解

実数の対称行列は、固有値分解ができるという非常にすばらしい性質がある。特異値分解は、固有値分解

よりも一般性の高いアプローチで、固有値分解と同じように、1 つの行列をベクトルで定義された他の行列

の総和に変換できる。

特異値分解は、n ×m の実行列 M を、それぞれ次元が n ×n, n ×m, m ×m の 3 つの行列 U, D, V に分

解する。この分解は、式で表すと次のようになる

*

3

M = UDV

T

*

3 M に複素数が含まれる場合、特異値分解は M = U D

V

∗

に一般化される。V

∗

は、 ...