データサイエンス設計マニュアル

234 8 章 線形代数

図 8 -11 リ

ンカーン記念堂の LU 分解（左）と両者の積 LU （中央）、計算中に LU 行列の行の順序は入れ

替えられているが、正しい順序にすれば、画像を再現できる（右）

主対角要素の積である。既に説明したように、行列式が 0 なら、行列はフルランクではない。

図 8 -11 は、リンカーン記念堂の LU 分解である。2 つの三角行列は、印象の異なるテクスチャになって

いる。この LU 分解関数（Mathematica のもの）は、連立方程式内の方程式の順序を入れ替えても情報が失

われないという性質を利用する。画像の場合は行の順序を入れ替えると崩れてしまうが、記念堂の白い柱

は、位置的には正確に再現されている。

8.4 固有値と固有ベクトル

正方行列 A にベクトル U を掛けて得られた積は、スカラー λ に U を掛けたものと同じになることがあ

る。例えば、次の 2 つの等式を見てみよう。実際に手計算して左右の式が等しいことを確かめてほしい。



−5 2

2 −2



2

−1



= −6



2

−1





−5 2

2 −2



1

2



= −1



1

2



2 つの等式はともに同じ 2 × 1 ベクトル U を右から掛けている。左辺では U を行列 A に掛けているのに

対し、右辺ではスカラー λ に掛けている。このように AU = λU となるとき、λ を行列 A の固有値、U を

それに対応する固有ベクトルと呼ぶ。

このような固有ベクトルと固有値の組合せは興味深い。スカラーの λ が