データサイエンス設計マニュアル

10.1 距離の測定 281

10.1.2 L

k

ノルム

ユークリッド距離は、「

L

k

ノルム」と呼ばれる、より一般性の高い距離関数族の特殊例にすぎない。

d

k

(p, q) =

k

v

u

u

t

d

X

i=1

|p

i

− q

i

|

k

=

d

X

i=1

|p

i

− q

i

|

k

!

1/k

パラ

メータの k は最大次元と全次元のどちらを重視するかを決定する。k の値として 1 から ∞ までの任

意の数を取ることができるが、特によく使われる値は次の通りである。

• マンハッタン距離（k = 1）：ブロードウェイなどの例外を除けば、マンハッタンの道は碁盤目になっ

ていて、ストリートは東西方向、アベニューは南北方向に走っている。近道をしようとしても高層ビ

ルに阻まれ、斜めに進むことはできないため、2 つの位置の距離は、南北の差と東西の差の合計に

なる。

同様に、L

1

ノルムは、各座標軸での距離の総和である。すべてが線形なので、2 つの座標軸それぞれ

で 1 という距離があるなら、1 次元で距離が 2 であることを意味する。対角線の近道を通ることがで

きないため、図 10 -1 に示すように、2 つの点の間には数多くの最短経路がある。

• ユークリッド距離（k = 2）：最もよく使われるノルムであり、次元の大小に関わらず、距離に従っ

た重みを与える。

• 最大成分（k = ∞）：k の値が大きくなると、距離が小さい座標軸成分は全体に影響を及ぼさなくなっ

ていく。a > b なら a

k

≫ b

k

であり、a

k

+ b

k

の k 乗根は、b

k

/a

k

→ 0 とともに