データサイエンス設計マニュアル

228 8 章 線形代数

る。一

般に、行列の乗算は可換ではないので、Ar と rA では異なる結果になる。その理由をはっきり説明

できるようにしよう。

空間内での点の回転

適切な行列の乗算は不思議な性質を示すことがある。平面上（すなわち 2 次元）の n 個の点の集合は、

(n × 2) 次元の行列 S で表現できることは既に示した。そのような点の集合と適切な行列の乗算は、自然な

幾何学的変換を行う。

回転行列 R

θ

は、原点を中心として θ 度回転する処理を行う。2 次元では、R

θ

は次のように定義される。

R

θ

=



cos(θ ) −sin(θ)

sin(θ ) cos(θ)



特に、適切な乗算/回転を実行すると、点 (x, y) は次の位置に移動する。



x

′

y

′



= R

θ



x

y



=



x cos(θ ) − y sin(θ)

x sin(θ ) + y cos(θ)



θ = 180

o

= π ラジアンの場合、cos(θ) = −1 で sin(θ) = 0 なので、この計算は結局 (−x, −y) となり、

点を対角の象限に置くことがわかる。

(n × 2) 次元の行列 S の場合、転置関数を使えば行列を適切な向きに回転できる。次の式で、向きを正し

く変えられているかを確かめよう。

S

′

= (R

θ

S

T

)

T

R

θ

を自然に一般化すれば、任意の次元で点を回転できる。さらに、回転、拡大縮小、反転行列の一連の

乗算を使えば、さまざまな変換を連続的に実行することができ、複雑な操作を簡潔に表現できる。

8.2.4 単位行列と逆行列 ...