データサイエンス設計マニュアル

8.2 行列演算の可視化 225

高校

で習った入れ子のループによる行列乗算アルゴリズムは、簡単にプログラミングでき、本書の 363

ページにも掲載されている。しかし、自分でプログラムしてはならない。プログラミング言語付属の高度に

最適化された線形代数ライブラリには、ずっと高速で数値的に安定したアルゴリズムが含まれている。

8.2.3 行列の乗算の応用

行列の乗算は、表面的には不格好な演算に見える。初めて線形代数を習ったとき、私には行列の加算の

ように同じ位置の要素の対を掛けるのではなく、このような計算方法をする理由がどうしてもわからな

かった。

このような形の行列の乗算を大切にしているのは、この方法でできることがたくさんあるからだ。ここで

はそのような応用方法を改めて見てみよう。

共分散行列

行列 A とその転置行列 A

T

の乗算は非常によく行われる演算である。なぜだろうか。理由の 1 つは乗

算できることだ。A が n × d 行列なら、A

T

が d × n 行列である。そのため、AA

T

という乗算はいつでも

計算可能なのである。しかも、計算順序の入れ替え、つまり A

T

A も同じように計算可能である。

これら 2 つの乗算には重要な解釈がある。A が n ×d の特徴行列で、1 つの要素、点を表す n 個の行とそ

れらの要素の観測された特徴を表す d 個の列から構成されているものとする。すると、次の 2 つの共分散行

列が得られる。

• C = AA

T

は、データポイントの間の「類似度」を示す内積に基づく n ×