データサイエンス設計マニュアル

236 8 章 線形代数

であり、解は u

1

= 1, u

2

=

2 で、ここから固有ベクトルを求めることができる。

λ = −6 の方は、次のようになる。

−5u

1

+ 2u

2

= −6u

1

−→ 1u

1

+ 2u

2

= 0

2u

1

+ −2u

2

= −6u

2

−→ 2u

1

+ 4u

2

= 0

こちらは解が不定なので、u

1

= 2, u

2

= −1 とその任意の定数倍が固有ベクトルになる。これは間違いで

はない。U は方程式 AU = λU の両辺にあるので、c を任意の定数として、ベクトル U

′

= c ·U も同じよう

に固有ベクトルの定義を満たす。

固有値や固有ベクトルの計算には、QR 分解と呼ばれる行列の分解を使ったもっと高速なアルゴリズムが

ある。不定でない連立方程式を正面から解くことを避けるアルゴリズムもある。例えば、U

′

= (AU)/λ を

使って収束するまで U のより良い近似値を計算していくものがある。条件が合えば、この方法は完全な連

立方程式を解くよりもずっと高速になる。

一般に、最も大きい固有値とそれに対応する固有ベクトルは、それ以外の固有値や固有ベクトルよりも

重要である。なぜか。そのような固有値や固有ベクトルの方が行列 A の近似値に早く近づくことができる。

そのため、高性能の線形代数システムは、特殊ルーチンを使って最大の（そして最小の）k 個の固有値を求

めて、それから反復的な方法で固有ベクトルを求める。

8.5 固有値分解

実数の任意の n × n 対称行列 M は、n 個の固有ベクトルの積の総和に分解できる。ここで、固有ベク ...