Pythonデータサイエンスハンドブック ―Jupyter、NumPy、pandas、Matplotlib、scikit-learnを使ったデータ分析、機械学習

5.9

 詳細：主成分分析

439

主成分

1

2

図5-84　PCAを適用した手書き数字データ

主成分が意味するものを思い出してみてください。元のデータは

64

次元の点の集まりであり、

プロットされた点は分散が最も大きい方向に各データポイントを投影した結果です。本質的に言う

と、

64

次元空間の回転や伸縮を最適に行うことで、手書き数字のデータ配置が

2

次元空間から眺め

られるようになりました。この作業を教師なし学習、つまりデータのラベルを参照しない方法で実

行できたのです。

5.9.1.3

 成分の意味

ここでもう少し踏み込んで、縮小された次元の意味について考えてみましょう。これは、基底ベ

クトルの組み合わせとして理解できます。例えば、学習データセット内の各画像は、

64

のピクセ

ル値の集合によって定義されます。ここではベクトル

x

と呼ぶことにしましょう。

x

＝

[x

1

,

x

2

,

x

3

,

…

,

x

64

]

これをピクセル単位の観点で把握する方法を考えます。つまり、イメージを構築するには、ベク

トルの各要素に記述するピクセルを掛け、その結果をまとめてイメージを構築します。

イメージ（

x

）＝

x

1

・（ピクセル

1

）＋

x

2

・（ピクセル

2

）＋

x

3

・（ピクセル

3

）＋…＋

x

64

・（ピクセル

64

）

このデータの次元を縮小するために、これらの基底ベクトルのほとんどをゼロにしてしまう方法

が考えられます。例えば、最初の

8

ピクセルのみを使用すると、データの

8

次元投影（図5-85）が得

られますが、元の画像をあまりよく反映できません。約

90

％ものピクセルを捨