AI를 위한 필수 수학

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Chapter 6 -

특이값 분해: 이미지 처리, 자연어 처리, 소셜 미디어

6.10

이미지에 특이값 분해 적용하기

이제 특이값 분해를 활용한 애플리케이션에 대해 이야기할 준비가 되었다. 먼저 이미지 압축

을 살펴보자. 디지털 이미지는 숫자 행렬로 저장되며 각 숫자는 픽셀의 강도를 의미한다. 그렇

다면 이 이미지 행렬에 특이값 분해를 사용하면 이미지의 중요한 정보를 잃지 않으면서도 저장

공간을 줄일 수 있다. 여기서 해야 할 것은 불필요한 특이값들을 제거하여 제거한 특이값에 해

당하는

U

의 열과

V

t

의 행을 제거하는 것이다. 이를 이해할 수 있는 수식은 다음과 같다.

될까? 행렬이 정방형이고 가역 행렬이지만 행렬식이

0

에 가까워 거의 비가역적인 경우에는 어

떻게 될까? 우리는 여전히 이런 시스템의 해를 찾는 데 관심이 많다. 앞서 언급한 것처럼 특이

값 분해의 힘은 모든 행렬에 대해 존재하고 모든 행렬에 대한 그 역을 구하는 데 도움이 된다는

것이다.

어떤 행렬이 주어지든 행렬의 특이값 분해

A

=

U

/

V

t

가 주어지면 유사 역행렬은 다음과 같이

정의할 수 있다.

AV

t

=

+

+

/

U

여기서

/

+

는

/

에서 대각선 원소들을 모두 역수로 바꾼 행렬이다. 다만 대각선 원소가

0

이거나

0

에 매우 가까운 값은 역수를 취하지 않는다. 이는 역수를 취했을 때 조건이 좋지