AI를 위한 필수 수학

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AI

를 위한 필수 수학

13.3.6

변분법(에너지 방법)

일부 미분 방정식은 특별한 성질을 가지고 있다. 이런 미분 방정식의 해는 어떤 에너지 함수를

최소화하는 값을 가진다. 이러한 성질을 가지고 있는 미분 방정식은 변분 원리를 가진다고 한

다. 유한 요소법으로 막 해결했던 푸아송 방정식은 이러한 ‘운이 좋은’ 미분 방정식 중 하나다.

미분 방정식이 변분 원리를 가지면 해당 방정식이 최소화하는 에너지 함수를 연구함으로써 그

미분 방정식의 해를 이해할 수 있는 또 다른 길이 열리는 것이다.

자세한 설명은 생략하고 푸아송 방정식과 이 방정식의 해가 최소화하는 에너지 함수를 간단히

살펴보자.

,,,,u basis x y u basis x yu x y u basis x y

nn2211

g. + ++

QQQ Q

VVV V

,xy !

Q

V

경계

X

에 대해

,u xy 0=

Q

V

,xy R

2

!1

X

Q

V

에 대해

,,u xy f xyV-=

QQ

VV

이고

, ,,E u x y u x y f x y dxdy

2d

=+

X

2

QQ Q Q

VV V V

#

이제 이 새로운 지식을 이용해 미분 방정식의 해를 수치적으로 근사할 수 있다. 에너지 함수를

최소화하는 근사 방법을 살펴보면 된다. 이는 유한 요소법과 유사하게 무한 차원의 해

u

(

x

,

y

)

를 우리가 선택할 수 있는 기저 함수들이 존재하는 유한 차원 공간으로