AI를 위한 필수 수학

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Chapter 13 -

인공지능과 편미분 방정식

여기서 등장하는 개념은 매우 일반적이며 신경망을 사용하여 편미분 방정식을 푸는 기반을 마

련한다는 점에서 중요하다. 게다가 이 두 예시는 모두 명확한 해석적 해를 가지고 있으므로 근

사 방법이나 반복적인 방법 (신경망 방법 포함 )을 사용하여 편미분 방정식을 푸는 과정을 테스

트하는 데 활용할 수 있다.

예제

1

은 시간에 따라 변하는 무한 영역에서의 일정한 계수를 가진

1

차원 열 방정식을 사용한

다. 예제

2

는 단순한 기하학적 구조를 가진 유한 영역에서 일정한 계수를 가진

2

차원 푸아송

방정식을 사용한다. 푸아송 방정식의 경우 시간에 따라 변하지 않고 정적인 해를 가진다.

13.7.1

예제

1

: 열 방정식

무한 영역에서의

1

차원 막대의 열 방정식은 다음과 같다.

이 편미분 방정식은 무한 영역에서

x

가 정의되기 때문에 원거리장 조건

far

field

condition

을 설정해

야 한다 (경계가 없으므로

x

가

x

→

3-

와

x

→

3-

로 갈 때 함수

u

(

x

,

t

)

가 어떤 형태를 가질지

추정해야 한다 ). 이러한

x

의 극한값을

0

이라고 가정해보겠다.

간단히 하기 위해 파라미터

a

를 상수라고 가정하여 푸리에 변환을 적용할 수 있다. 이 변환을

(변수

x

에 대해) 편미분 방정식

u

t

(

x

,

t

)

=

au

xx

(

x

,

t

)

와 초기 ...