AI를 위한 필수 수학

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AI

를 위한 필수 수학

여기서

w

v

는 시스템의 물리적 파라미터 집합이다.

이어서 입자 시스템을 직접 이용해 거시적 스케일의 자연 현상을 시뮬레이션하기 위한 그래프

신경망의 활용에 대해 배울 것이다. 이 방법은 앞서 배운 미분 방정식을 사용하는 과정을 건너

뛴다. 신경망의 입력은 입자 간의 상호 작용과 그 속도 등이고, 출력은 시스템 전체의 시간에

따른 변화 (비디오나 일련의 시간에 따른 그래프 )가 된다.

13.5

확률 과정의 기대값으로 해 표현하기

특정 종류의 미분 방정식의 경우 해를 기초적인 확률 과정의 기대값으로 표현하는 간단한 해법

이 있다. 이 방법은 적절한 확률 과정의 랜덤 워크를 시뮬레이션한 다음 그에 대한 기대값을 계

산하는 방식이다. 이를 통해 특정 공간-시간 좌표에서의 해를 계산할 수 있다.

이 방법을 배우기 위해서는 파인만-카츠 공식

Feynman

-

Kac

formula

과 이토 미적분

Itô

’

s

calculus

을 배워

야 한다. 이토 미적분은 시간에 의존하는 확률 변수의 함수에 대한 미분을 구하는 데 도움을 준

다. 이러한 수학적 도구들은 미분 방정식과 확률 이론을 유기적으로 연결시켜 준다.

(여기서는 쓰지 않겠지만 ) 파인만-카츠 공식은 저차원 문제만 해결 가능한 미분 방정식을 다

룰 때 매우 실용적이다. 예를 들면 계량 금융 분야에서 파인만-카츠 공식을 사용하여 블랙-숄

즈 방정식의 해를 효율적으로 계산하여 주식 옵션 가격을 매길 수 있다. 또한 양자 화학에서는

슈뢰딩거 방정식을 푸는 데 사용할 수 있다.

13.6

미분 ...