AI를 위한 필수 수학

602

AI

를 위한 필수 수학

13.11

편미분 방정식에서의 고려 사항

지금까지 다룬 주제들은 잘 연구된 편미분 방정식과 실제 응용 분야보다 더 광범위한 분야에

적용된다. 학부 과정에서는 주로

2

개의 변수

(

x

,

y

)

또는

(

x

,

t

)

만을 포함하는 선형 편미분 방

정식을 다룬다. 이러한 접근법으로 인해 일부 학생들은 이것이 전부라고 착각하거나 비선형 편

미분 방정식과 고차원 편미분 방정식에 대해 궁금증을 갖게 된다. 또한 학부생에게 ‘모든 응용

분야에서 사용될 수 있는 기초 방정식’이라는 잘못된 인상을 심어주기도 있다. 학부 과정에서

는 마치 각 유형을 완벽하게 설명하는 이론이 존재하듯이 편미분 방정식을 타원형, 포물형, 쌍

곡형으로 인위적으로 구분한다. 해석적 해법 또한 너무 범위가 좁아 (선형성으로 인해 ) 단순

한 해들의 중첩 원리에만 초점을 맞춘다. 그러나 신경망은 단순 함수들의 합이 아니라 합성을

이용해 비선형 방정식의 해를 근사한다는 점에서 그 범위를 더욱 확장한다. 또한 학부 과정은

열 방정식(포물선 ), 파동 방정식(쌍곡선 ), 라플라스 방정식(타원 )과 일부 수치 해법 및 시뮬

레이션 (유한 차분, 유한 요소법, 몬테카를로 )에 초점을 두는 경향이 있다. 이러한 편미분 방정

식들은 가장 단순한 형태, 즉 선형,

1

차원,

2

차원,

3

차원의 모습으로 소개된다.

학부 과정의 편미분 방정식 과목은 잘 구성되어 있지만 이론, 수치 해석, 심지어 광범위한 응용

성의 측면에서조차 편미분 방정식의 실제 활용을 제대로 반영하지 못하고 있다. ...