AI를 위한 필수 수학

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Chapter 13 -

인공지능과 편미분 방정식

문제의 기하학적 구조

앞서 언급했지만 도메인의 모양은 해석과 수치 계산 모두에 중요하다. 이는 충분히 강조할 만

한 가치가 있는 중요한 주제다. 필자가 다뤘던 비현실적인

1

차원의 경우 방정식의 도메인으로

선분을 사용했다. 하지만

2

차원의 경우에는 직사각형 (규칙적인 격자의 장점이 있다 ), 원 (방사

형 대칭의 장점이 있다 ), 특정한 이름이 없는 기타 불규칙한 모양 등 훨씬 더 많은 선택지가 있었

다. 해석적인 측면에서는 직사각형이나 원형의 도메인이 가장 쉽다 (필자가 마주했던 특정한 방

정식이 아니라 선형 방정식과 같은 간단한 방정식의 경우 ). 시뮬레이션에서도 이런 도메인이

유리하다. 하지만 실제 물체처럼 도메인의 모양이 불규칙할 경우 해당 도메인을 정확하게 표

현하려면 불규칙한 부분에 더 많은 불연속 점을 배치해야 한다. 여기서 또 차원의 저주가 우리

를 괴롭힌다. 점이 많아지면 계산에 들어가는 벡터가 길어지고 입력 행렬이 커지기 때문이다.

관심 있는 것을 모델링하자

필자는 박사 과정을 마치고

10

년이 지나서야 연구했던 것과 비슷한 얇은 결정을 실제로 볼 수

있었다. 필자의 친구가 실험실에서 금으로 된 얇은 결정을 보여줬을 때였다. 돌이켜보면 모델

링하려고 했던 것이 실제로 어떤지 보고 시작했어야 했을 것 같다. 그래서 이제는 우선순위를

다르게 정하고 있다. 항상 모델링하려는 대상에 관심이 있는지, 선택한 모델이 현실을 얼마나

잘 반영하는지 그리고 해석 해를 찾는 것이 특정 ...