AI를 위한 필수 수학

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AI

를 위한 필수 수학

13.4

통계역학의 마스터 방정식

필자가 가장 좋아하는 편미분 방정식은 통계역학에서 나오는 마스터 방정식이다. 왜냐하면 시

스템을 원자 또는 분자 단위 (입자 시스템 )의 미시적 수준에서 확률적으로 설명하고, 이를 통

해 동일한 시스템을 거시적 스케일에서 결정론적으로 나타낼 수 있는 몇 안되는 미분 방정식

중 하나이기 때문이다. 미시적인 원자적 과정과 변화가 관찰되는 거시적인 행동의 근원이 된

다는 것은 논리적으로 당연한 기대다. 필자를 통계역학에 입문시켜준 선생님은 ‘우리가 살면서

겪는 모든 것은 어떤 거대한 화학 반응의 집합적인 결과가 아닐까?’라고 말한 적이 있다.

미시적 확률에 대한 마스터 방정식으로부터 관측 가능한 양에 대한 결정론적 미분 방정식으로

의 전환은 간결하며 부정적인 근사를 하거나 모호한 가정을 만들지 않는다. 또한 완전히 별개

인 거시적 스케일과 미시적 스케일의 모델을 사용하는 것처럼 느껴지지 않는다. 이 두 모델은

서로 관련이 없는 것처럼 보이지 않고 오히려 서로 연결되어 있다는 것을 보여준다.

마스터 방정식은 특정 시스템 (일부 입자 )이 특정 시간에 특정 상태에 있을 확률의 변화를 추적

한다. 여기서는 시스템 상태의 확률 변화율을 계산하는 방법을 다루는데, 이는 이득 (입자의 상

태 변화 유입 )에서 손실