AI를 위한 필수 수학

506

AI

를 위한 필수 수학

이러한 질문들은 우리를 천천히 실수 직선에 대한 집합 이론의 세부 사항으로 끌어들이고, 결

국에는 측도론으로 이끈다. 측도론은 실수 직선의 어떤 부분 집합을 측정할 수 있고 어떤 부분

집합을 측정할 수 없는지를 다루는 이론이다.

표본 공간의 부분 집합에 대한 확률을 정의하는 것은 그 집합의 측도를 정의하는 것과 매우 유

사해 보인다. 즉, 측정 가능한 부분 집합에 대해서만 확률을 정의할 수 있는 것처럼 보인다. 표

본 공간의 다른 측정 불가능한 부분 집합은 어떨까? 안타깝게도 우리는 이 확률을 정의할 수

없다. 다시 말해,

Prob

(

A

)

는 표본 공간의 모든 부분 집합

A

에 대해 의미가 있는 것이 아니라

그 공간의 측정 가능한 부분 집합에 대해서만 의미가 있다. 따라서 모든 측정 가능한 부분 집합

을 하나로 모으고 나머지는 버려야 하며, 그 부분 집합이나 수학에 대해 더 이상 생각하지 말아

야 한다. 이렇게 하면 우리가 모은 모든 사건 (부분 집합 )에 대해 확률 (측도 )을 정의할 수 있는

영역에서 작업할 수 있기 때문이다. 우리가 사용하는 확률 측도는 [

0

,

1

] 사이의 음이 아닌 수라

는 점에서 합리적인 성질을 만족하며, 상호 보완 사건(부분 집합)의 확률은 합에서

1

이 된다.

이 복잡한 과정은 실수 직선과 그 부분 집합의 복잡성을 드러내며, 연속체의 신비와 무한의 경

이로움을 보여준다.

엄격한 확률 이론은 우리가 이산 공간과 연속 공간의 특성을 이해하는 데 도움을 준다. 이는

‘이산 집합에서의 이산 균등 ...