AI를 위한 필수 수학

511

Chapter 11 -

확률

실수 집합에 정의된 가측 실함수

measurable

real

valued

function

f

가 있다고 가정하자.

X

는 확률 삼중항

(

X

,

sigmaalgebra

,

P

)

에서 정의된 확률 변수이고,

X

의 분포를

n

라고 하겠다. 이때 임의의 실

수

x

에 대해

f

(

x

)

는 실수가 되며 확률 변수

X

에 대해

f

(

X

)

는 확률 변수가 된다.

변수 변환 정리

change

of

variable

theorem

는 확률 공간

X

위에서 정의된 확률 측도

P

에 대한 확률 변

수

f

(

X

)

의 기대값이 실수 집합

R

위에서 정의된 측도

n

에 대한 함수

f

의 기대값과 동일하다

는 것을 의미한다. 이를 먼저 기대값으로 표현한 후 적분으로 표현해보자.

fX fEE

P

=

n

QQ Q

VV V

f X w P dw f t dtn=

3X -

3

QQ Q Q Q

VV V V V

##

변수 변환 정리의 유용한 점은 기대값, 적분, 확률 사이를 자유롭게 전환할 수 있다는 점이다.

f

를

R

의 가측 부분 집합에 대한 지시 함수

indicator

function

로 정의해보자 (지시 함수는 해당 부분

집합에서

1

, 그 외의 영역에서는

0

의 값을 가진다 ). 그러면 다음의 공식을 얻을 수 있다.

dt B P X B1

B

!nn==

3-

3

QQQ

VV V

#

<

Chapter

8

확률적 생성 모델>의 확률 이론에서 또 다른 변수 변환 정리를 다루었다. 이 정리

는 확률 변수의 분포와 해당 확률 변수의 결정론적 함수의 분포를 연관시키는 정리이며, 여기

에는 이 함수 변환의 야코비 행렬식을 사용한다.