AI를 위한 필수 수학

509

Chapter 11 -

확률

확장 정리

extension

theorem

를 사용하면 복잡한 확률 삼중항을 구성할 수 있다. 확률 측도를 거대한

시그마 대수 위에서 정의하는 대신 더 간단한 부분 집합의 집합인 반대수

semialgebra

에서 확률 측

도를 구성한다. 이후 확장 정리는 그 측도를 완전한 시그마 대수로 자동적으로 확장시킨다. 이

정리를 통해

[

0

,

1

]

구간에서의 르베그 측도

Lebesgue

measure

(이는

[

0

,

1

]

에서의 연속 균등 분포와 같

다), 곱 측도

product

measure

, 다차원 르베그 측도, 유한 및 무한 동전 던지기 등을 구성할 수 있다.

이처럼 집합 이론, 실해석학, 확률 이론의 세계는 정교하게 뒤섞여 있다.

11.8.5

확률 변수와 기대값

이제 확률 삼중항을 표본 공간과 연관시킬 수 있으므로 우리는 표본 공간의 많은 부분 집합 (연

관된 시그마 대수의 모든 원소 )에 대한 확률을 정의할 수 있다. 그리고 이를 바탕으로 엄격하

게 확률 변수를 정의할 수 있다. 엄격하지 않은 확률 이론에서도 알 수 있듯, 확률 변수는 표본

공간의 각 원소에 수치를 할당한다. 표본 공간을 어떤 실험의 가능한 모든 랜덤 결과 (

예

동전

던지기의 앞면과 뒷면 )로 생각한다면 확률 변수는 각 결과에 수치를 할당하는 것과 같다. 엄격

한 기반을 구축하기 ...