AI를 위한 필수 수학

212

AI

를 위한 필수 수학

5.2.1

선형 및 변환 불변 시스템을 위한 합성곱과 임펄스 응답

선형 시스템과 시간/변환 불변 시스템의 개념을 공식으로 살펴보고, 이러한 속성을 가진 시스

템의 신호에 대한 응답을 정량화하려고 할 때 합성곱 연산이 어떻게 자연스럽게 사용되는지 이

해해보자. 수학적인 관점에서 시스템은 입력 신호

x

를 받아 출력 신호

y

를 생성하는 함수

H

다.

신호

x

와

y

는 시간, 공간(

1

차원 또는 고차원) 또는 두 가지 모두에 의존할 수 있다. 시스템을

의미하는 이 함수에 선형성을 적용하면 다음과 같은 두 가지 주장을 할 수 있다.

1

스케일링된 입력 신호의 출력은 원래 출력이 스케일링된 것과 같다.

H

(

ax

)

=

aH

(

x

)

=

ay

H

(

x

1

+

x

2

)

=

H

(

x

1

)

+

H

(

x

2

)

=

y

1

+

y

2

2

두 개의 중첩된 신호의 출력은 두 개의 원래 출력을 중첩한 것과 같다.

즉, 시간/변환 불변성을 강제하면 지연된/변환된/이동된 신호의 출력은 지연된/변환된/이동된

원래의 출력과 같다.

H

(

x

(

t

-

t

0

))

=

y

(

t

-

t

0

)

이산적이든 연속적이든 임의의 신호를 다양한 진폭의 임펄스 신호가 중첩된 것이라고 생각하

면 앞서 살펴본 특징들을 활용할 수 있다. 이런 방식으로 시스템의 단일 임펄스 신호에 대한 출

력, 즉 시스템의 임펄스 응답을 측정할 수