AI를 위한 필수 수학

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Chapter 13 -

인공지능과 편미분 방정식

황에서는 그린 함수를 직접 구하기 어려울 수 있다. 이때 그린 함수의 공식을 알거나 신경망을

이용해 이 함수를 근사함으로써 편미분 방정식의 해를 구할 수 있게 된다.

13.7.3

고정점 반복법

고정점 반복법

fixed

point

iteration

은 특정한 편미분 방정식의 해를 직접 구하고 그 해의 존재성과 유

일성을 증명할 때 유용한 방법이다. 이 방법은 간단하고도 범용성이 높기 때문에 우리의 수학

적 도구 상자에 꼭 넣어둬야 할 도구다. 먼저 고정점 반복법의 원리를 설명하고 이를 동역학 시

스템의 해를 일련의 과정으로 표현하는 데 적용해보겠다. 동역학 시스템은 하나 또는 여러 입

자(시스템 )가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 기술하는 상미분 방정식이다. 앞에서 논의한

것처럼 우리는 신경망이 동역학 시스템의 해 연산자를 학습하도록 하고 싶다. 또한 고정점 반

복법에 의한 해의 표현 방식과 신경망을 이용한 해의 표현 방식을 나란히 살펴보는 것도 유익

하다. 수학에서는 동일한 해를 여러 방법으로 표현할 수 있음을 기억하자. 고정점 반복을 통한

표현은 일련의 덧셈으로 이루어지고 신경망을 통한 표현은 여러 함수의 합성으로 이루어진다.

게다가 신경망은 편미분 방정식들의 집합 전체에 대한 해 연산자를 표현할 수 있는 더 넓은 범

용성을 가지고 있는 것으로 보인다. 이는 이 분야에서 오랫동안 기다려온 꿈이라고 할 수 있다.

고정점 반복법은 함수의 고정점을 찾는 방법이다. 고정점

x

)

는 주어진 함수 ...