AI를 위한 필수 수학

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AI

를 위한 필수 수학

Y y Prob w such that Y w yE

ii

!

X==

i

n

1=

QQ Q

V VV

/

이제 이 불연속 식을 기대값 공식의 연속체 적분과 비교해보자.

YdP Y w Prob dwYE ==

XX

Q QQ

V VV

##

측도 이론의 첫 번째 강좌에서 르베그 적분을 구축할 때와 같은 방식으로 적분 (기대값 )을 엄격

하게 구축할 수 있다. 먼저 간단한 확률 변수(이산 합으로 쉽게 분해할 수 있으며 적분은 합에

서 시작)에 대해, 그리고 음수가 아닌 확률 변수에 대해, 마지막으로 일반적인 확률 변수에 대

해 선형성 및 순서 보존과 같은 적분의 기본 속성을 쉽게 증명할 수 있다. 표본 공간이 이산적

이든 연속적이든 복합적이든 확률 삼중항을 기반으로 삼는다면 적분은 의미가 있다(기본 미적

분학에서 다루는 리만 적분보다 훨씬 더 넓은 범위의 설정에서). 일단 르베그 스타일의 적분을

접하면 다시는 뒤돌아보지 않게 될 것이다.

이제 기대값을 정의했으므로 엄격하지 않은 확률 이론에서와 같은 방식으로 분산과 공분산을

정의할 수 있다.

그럼 독립에 대한 논의가 가능해진다. 특히

X

와

Y

가 독립이라면

E

(

XY

)

=

E

(

X

)

E

(

Y

)

와

Var

(

X

+

Y

)

=

Var

(

X

)

+

Var

(

Y

)

라는 중요한 성질이 성립한다.

11.8.6

확률 변수의 분포와 변수 변환 정리

확률 변수 ...